Экономическая модель оптимального плана производства трех видов изделий, максимизирующего прибыль
Однако эта теорема справедлива только тогда, когда при изменении количества ресурса bi значения переменных zi* в оптимальном плане двойственной задачи остаются неизменными. В отчете Excel по устойчивости можно получить границы изменения bi (Db- и Db+), в пределах которых теневая цена есть коэффициент увеличения (уменьшения) целевой функции исходной задачи при изменении доступного количества ресурсов.
Понятие нормированной стоимости. Ограничения двойственной задачи так же, как и исходной, можно привести к виду равенства:
Экономический смысл дополнительных двойственных переменных vj следующий: это производственные потери на одну единицу изделия j-го типа.
Если это ограничение выполняется в виде равенства, то оценка затраченных ресурсов равна прибыли и потерь нет. В этом случае vj = 0.
Если же это ограничение выполняется в виде строгого неравенства, то затраты на производство одной единицы продукции j-го типа больше прибыли, и следовательно производить этот вид продукции невыгодно. Разница между стоимостью ресурсов и прибылью представляет собой производственные потери:
.
В отчетах Excel оптимальное значение дополнительной двойственной переменной vj* называется нормированной, или редуцированной, стоимостью.
-я теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости). Оптимальные решения исходной и двойственной задач связаны соотношениями
* × yi* = 0;* × xj* = 0.
Эта теорема означает, что между переменными исходной и двойственной задач существует взаимосвязь.
Рассмотрим связь yi* (остаток ресурса i-го вида) и zi*(теневую цену ресурса i-го вида).
Если yi* = 0, то i-й ресурс использован полностью. Следовательно, он ограничивает дальнейшее увеличение целевой функции, является дефицитным. При увеличении количества этого ресурса может быть произведено больше продукции, следовательно, возрастет прибыль. Соответствующая теневая цена zi* > 0.
Если же yi* > 0, то имеется остаток ресурса i-го вида, т. е. ресурс не дефицитен. Увеличение количества этого ресурса не вызовет увеличение прибыли. Соответствующая теневая цена zi* = 0.
Рассмотрим связь xj* (оптимальный объем производства изделий j-го типа) и vj* (производственные потери на одну единицу изделия j-го типа).
Если xj* > 0, т. е. j-е изделие вошло в оптимальный план производства, то соответствующие потери для этого изделия составляют0 : vj* = 0.
Если же xj* = 0, т. е. изделие не вошло в оптимальный план производства, то это произошло потому, что данный вид продукции убыточен, т. е. соответствующие потери vj* > 0.
Свойство нормированной стоимости. Нормированная стоимость vj* показывает, насколько уменьшится целевая функция при принудительном выпуске одной единицы продукции j-го типа.
Пусть, например, продукция k-го вида не вошла в оптимальный план производства, т. е. xk* = 0. Однако существует некоторое плановое задание, предписывающее выпуск этого вида продукции в количестве Tk единиц. Тогда при производстве этого невыгодного вида продукции на него будут оттянуты ресурсы, и выгодной продукции будет выпущено меньше. Целевая функция (общая прибыль) уменьшится, причем это уменьшение можно количественно измерить:
D F = Tk × vk*.
Следует отметить, что равенство справедливо только в том случае, когда плановое задание Tk не нарушает номенклатуру остальных выпускаемых изделий, т. е., кроме “принудительно производимого” k-го изделия, ассортимент остальных выпускаемых “выгодных” изделий не изменится, а изменится только их количество. Определить предельную величину Tk, при которой равенство (22) справедливо, можно экспериментально.